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加密与解密算法的研究


4．RSA公钥密码体制的应用

（1）数字签名

长期以来的日常生活中，对于重要的文件，为了防止对文件的否认，伪造，篡改等等的破坏，传统的方法是在文件上手写签名。但是在计算机系统中无法使用手写签名，而代之对应的数字签名机制。数字签名应该能实现手写签名的作用，其本质特征就是仅能利用签名者的私有信息产生签名。因此，当它被验证时，它也能被信任的第三方（如法官）在任一时刻证明只有私有信息的唯一掌握者才能产生此签名。其特点：签名是可信的，签名是不能伪造的，签名是不可重用的，签名后的文件是不能更改的，签名是不能否认的。

三、过程论述

1．RSA算法工作原理

首先，找出三个数，p，q，r，其中p，q是两个相异的质数，r是与(p-1)(q-1)互质的数......p，q，r这三个数便是privatekey 接著，找出m,使得rm==1mod(p-1)(q-1).....这个m一定存在，因为r与(p-1)(q-1)互质，用辗转相除法就可以得到了.....再来，计算n=pq.......m,n这两个数便是public key编码过程是，若资料为a，将其看成是一个大整数，假设a=n的话,就将a表成s进位(s<=n，通常取s=2^t),则每一位数均小于n,然后分段编码......接下来,计算b==a^mmodn,(0<=b若p,q是相异质数,rm==1 mod (p-1)(q-1),a是任意一个正整数，b==a^m mod pq, c==b^r mod pq, 则c==amod pq 证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:

m是任一质数，n是任一整数，则n^m==nmodm<证明>因为rm==1 mod(p-1)(q-1),所以rm=k(p-1)(q-1)+1,其中k是整数因为在modulo中是preserve乘法的(x==ymodz and u==vmodz=>xu==yv modz),所以

c==b^r==(a^m)^r==a^(rm)==a^(k(p-1)(q-1)+1)modpq

（1）如果a不是p的倍数,也不是q的倍数时：

则a^(p-1)==1modp(费马小定理)=>a^(k(p-1)(q-1))==1 modp a^(q-1) ==1 mod q(费马小定理)=>a^(k(p-1)(q-1))==1 modq所以p，q均能整除a^(k(p-1)(q-1即a^(k(p-1)(q-1))==1modpq即a^(k(p-1)(q-1))==1 mod pq=>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==a mod pq

（2）如果a是p的倍数,但不是q的倍数时：

则a^(q-1)==1 mod q(费马小定理)=>a^(k(p-1)(q-1))==1 modq

=>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==a mod q=>q|c-a

因p|a=>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==0 modp=>p|c-a

所以,pq|c-a=>c==amod pq

（3）如果a是q的倍数,但不是p的倍数时,证明同上

（4）如果a同时是p和q的倍数时：

则pq|a =>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==0mod pq=>pq|c-a

=>c==a mod pq

这个定理说明a经过编码为b再经过解码为c时，a ==c mod n（n =pq）但我们在做编码解码时,限制0<=a
2．RSA 的安全性

RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n 必须选大一些，因具体适用情况而定。

3．RSA的速度

由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上一倍，无论是软件还是硬件实现，速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。

参考文献

[1] 陈 运．信息加密原理[M]．成都：电子科技大学出版社，1990．

[2] 张 周．我国企业开始重视网络安全[J]．计算机世界A9版．2000，（3）．

[3] 张文政，孟庆志．通信保密技术[J]．计算机应用．1998，（6）：25~28．

[4] 王 勇．RSA公开密钥密码体制的密钥生成研究

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